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Il paradosso di Russell

Se il barbiere del villaggio (un uomo sbarbato) rade tutti e solo gli uomini che non si radono da soli, chi rade il barbiere?

Soluzione

Suddividiamo gli abitanti del paese in due insiemi:
A, avente per elementi gli abitanti che si fanno la barba da soli,
B, avente per elementi gli abitanti che vanno a radersi dal barbiere.
In quale di questi due insiemi si può inserire il barbiere?

Ricordando che dall'ipotesi dell'indovinello risulta chiaramente che chi si fa la barba da solo non può e non deve farsi radere dal barbiere e, viceversa, chi va dal barbiere non può e non deve radersi da solo, si ottiene:

Il barbiere deve appartenere all'insieme A (perché si fa la barba da solo) e NON può appartiene all'insieme A (perché lui stesso è il barbiere e quindi si sta facendo radere dal barbiere)

Il barbiere deve appartenere all'insieme B (perché essendo il barbiere, mentre si rade, si sta facendo fare la barba dal barbiere) e NON può appartenere all'insieme B (perché si fa la barba da solo) 

La soluzione è che non ci sono soluzioni! E' un paradosso!

Questo paradosso, in una versione un poco più complicata e matematica, fu proposto nel 1902 dal filosofo inglese B. Russel in una lettera a G. Frege, un matematico che in quel periodo stava completando la stesura di un'opera monumentale che rielaborava tutta la matematica partendo dagli insiemi e utilizzandoli come fondamento.
Il paradosso obbligò Frege a interrompere l'opera e gettò nella più totale confusione la matematica del tempo, arrivando a parlare di crisi dei fondamenti della matematica.

Dopo alcuni anni venne in parte riformulata la teoria degli insiemi, con il contributo dello stesso Russel, in modo da escludere che un insieme possa appartenere a se stesso.